Matematika/Základní škola/9. třída

Kvadratické rovnice

Za kvadratickou rovnici s proměnnou x považujeme takovou rovnici, ve které se vyskytuje proměnná x v druhé mocnině (x², tzv. kvadratický člen), vedle toho se může, ale nemusí vyskytovat i x v první mocnině (x, tzv. lineární člen) a tzv. absolutní člen.

Úpravami známými z lineárních rovnic můžeme každou kvadratickou rovnici převést na tvar

$a{x}^2+bx+c=0$,

kde koeficient a je nenulový (jinak by to byla lineární, nikoli kvadratická rovnice), b a c mohou být i nulové (pak lze rovnici řešit jednodušeji).

Takto upravenou rovnici můžeme řešit třemi způsoby:

1. pomocí vzorce $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ (výraz $\sqrt{b^2-4ac}$ se nazývá diskriminant), který vám ve škole většinou předložili jako fakt k zapamatování,
2. postupnou úpravou na rozdíl čtverců, kdy rovnici převedete na tvar $(x+y{)}^2-z^2=0$ (v některých případech, typicky pro a rovno jedné a b sudé, může být toto řešení rychlejší než pomocí vzorce s diskriminantem),
3. převedením na součin tvaru $(x-u)\cdot (x-v)$, kde pro hodnoty u a v platí tzv. Vietovy vztahy $u\cdot v=\frac{c}{a}$, $u+v=-\frac{b}{a}$ (dá se s výhodou užít pro malé celočíselné hodnoty koeficientů b a c, obě dělitelné a).

Úlohy k procvičení

Řešte rovnici $x^3+2x^2+x=3x(x+1)$