Matematika/Výpočet obsahu rovinných útvarů/Základní rovinné útvary

Trojúhelníky

Obecný trojúhelník

$S = \frac{a . v_{a}}{2}$ , kde a je délka některé ze stran, v_a je výška z protilehlého vrcholu na tuto stranu. Lze odvodit jako polovinu obsahu kosodélníka (viz níže) se stejnou stranou a výškou.

V učivu základní školy se používá spíše označení z pro základnu (kteroukoli vybranou stranu) a v pro příslušnou výšku, tedy:

$S = \frac{z . v}{2}$ .

Pravoúhlý trojúhelník

Odvěsny jsou k sobě navzájem výškami (neboli $a = v_{b}$ , $b = v_{a}$ ), tedy:

$S = \frac{a . b}{2}$ , kde a, b jsou délky odvěsen. Lze odvodit jako polovinu obsahu obdélníka se stejnými délkami stran.

Rovnostranný trojúhelník

Z délky strany lze podle Pythagorovy věty ( $v_{a} = \sqrt{a^{2} - \frac{a^{2}}{4}}$ ) nebo pomocí goniometrických funkcí ( $v_{a} = a . \sin α$ , kde $α = \frac{π}{3} = 6 0^{\circ}$ ) spočítat i výšku ( $v_{a} = a . \frac{\sqrt{3}}{2}$ ). Tedy:

$S = a^{2} . \frac{\sqrt{3}}{4}$ .

Rovnoramenný trojúhelník

Máme dánu délku základny a a velikost úhlu mezi ramenem a základnou α. Výšku tohoto trojúhelníku spočítáme pomocí goniometrických funkcí jako $v_{a} = \frac{a}{2} . tg α$ . Tedy:

$S = \frac{a^{2}}{4} . tg α$ .

Zvláštním případem rovnoramenného trojúhelníku pro $α = \frac{π}{3}$ je rovnostranný trojúhelník, přitom $tg \frac{π}{3} = \sqrt{3}$ , po dosazení a úpravě skutečně dostáváme vzorec $S = a^{2} . \frac{\sqrt{3}}{4}$ v předchozí sekci.

Pokud použijeme $α = \frac{π}{4}$ , máme pravoúhlý trojúhelník o přeponě a, přitom $tg \frac{π}{4} = 1$ , po dosazení dostáváme $S = \frac{a^{2}}{4}$ a opravdu – tento trojúhelník je čtvrtinou čtverce o straně a, rozřezaného podél obou úhlopříček.

Čtyřúhelníky

Obdélník a čtverec

$S = a . b$ , kde a, b jsou délky stran

Pro čtverec platí $a = b$ , a tedy $S = a^{2}$ .

Kosodélník a kosočtverec

Kosodélník a kosočtverec (obecně rovnoběžník ležící na delší ze stran, kde a je tato delší strana a v_a příslušná výška) lze svisle rozříznout na pravoúhlý trojúhelník a pravoúhlý lichoběžník, jejichž složením vznikne obdélník o stranách a, v_a, tedy

$S = a . v_{a}$ .

Pokud známe velikost vnitřního úhlu kosočtverce, umíme pomocí goniometrických funkcí spočítat výšku ( $v = a . \sin α$ ), tedy

$S = a^{2} . \sin α$ .

Pro kosočtverec s vnitřními úhly $\frac{π}{3} = 6 0^{\circ}$ a $\frac{2 π}{3} = 12 0^{\circ}$ máme $v_{a} = a . \frac{\sqrt{3}}{2}$ a dostáváme tedy $S = a^{2} . \frac{\sqrt{3}}{2}$ , což je dvojnásobek plochy rovnostranného trojúhelníku, který vznikne rozpůlením kosočtverce po kratší úhlopříčce.

Lichoběžník

Lichoběžník, jehož dvě rovnoběžné strany (základny) mají délky a₁ a a₂, můžeme po diagonále rozdělit na dva trojúhelníky o stranách (základnách) a₁ a a₂ a stejné výšce v_a. Obsah lichoběžníka je roven součtu jejich obsahů:

$S = \frac{(a_{1} + a_{2}) . v_{a}}{2}$ .

Kruh

$S = π . r^{2}$ nebo $S = π . \frac{d^{2}}{4}$ , kde r je poloměr a d je průměr kruhu ( $r = \frac{d}{2}$ ).