Limita funkce/1

Limita funkce

Příklad 1)

$\underset{x\to \frac{\pi }{8}}{\lim }\frac{cotg2x-1}{1-2co{s}^{2}2x}$

wolfram

• lim (x->pi/8) (cotg 2x - 1)/(1 - 2 cos^2 2x)
• = -1

Ukázkový postup výpočtu mi přijde dost komplikovaný.

numberempire

Zkusíme konkurenci numberempire.com:

• (cot(2*x)-1)/(1-2*cos(2*x)^2)
• limit variable: x
• Compute at: pi/8
• Limit type: two-sided

Kupodivu to nevyčíslí výraz a neukáže postup výpočtu.

wolfram

Tak se vrátíme k Wolframu a zkusíme mu trochu napovědět, na co nepřišel:

• namísto 2x budeme psát x a v souladu s tím upravíme i limitu:
• lim (x->pi/4) (cotg x - 1)/(1 - 2 cos^2 x)
• = -1

Opět dost komplikovaný postup. Tak zkusíme použít rovnou l'Hospitalovo pravidlo a derivovat čitatele a jmenovatele:

• čitatel: (cotg x - 1)'
  • = - csc^2 x = -1/sin^2 x
• jmenovatel: (1 - 2 cos^2 x)'
  • = 4 sin x cos x
• dosadíme do původního zlomku: -1/(4 sin^2 x sin x cos x)
• a dosadíme x = pi/4: -1/(4 sin^2 (pi/4) sin (pi/4) cos (pi/4))
• = -1

ruční výpočet s komentářem

$\underset{x\to \frac{\pi }{8}}{\lim }\frac{\mathrm{cotg}2x-1}{1-2{\cos }^{2}2x}=$

(substituce y = 2x)

$=\underset{x\to \frac{\pi }{4}}{\lim }\frac{\mathrm{cotg}y-1}{1-2{\cos }^{2}y}=$

Vídíme, že po dosazení má limita tvar 0/0, proto použijeme L’Hospitalovo pravidlo a derivujeme zvlášť čitatele a jmenovatele:

$=\underset{x\to \frac{\pi }{4}}{\lim }\frac{\frac{-1}{{\sin }^{2}y}}{-2(2.\cos y).(-\sin y)}=\underset{x\to \frac{\pi }{4}}{\lim }\frac{-1}{4{\sin }^{2}y.\cos y.\sin y}$

Po dosazení funkčních hodnot

$\cos \frac{\pi }{4}=\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

dostaneme

$\frac{-1}{4{\sin }^2\frac{\pi }{4}.\cos \frac{\pi }{4}.\sin \frac{\pi }{4}}=\frac{-1}{4(\frac{\sqrt{2}}{2}{)}^2.\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{-1}{4.\frac{2}{4}.\frac{2}{4}}=\frac{-1}{1}=-1$