Konvexnost a konkávnost funkce/1

Konvexnost a konkávnost funkce, př. 1)

Vyšetřete maximální intervaly konvexnosti a konkávnosti funkce:

$f(x)=2x+e^{-\frac{x^2}{2}}$

Spočteme první derivaci (derivace exponenciální fce):

$f^{\prime }(x)=2+e^{-\frac{x^2}{2}}(-\frac{1}{2}2x)=2-x.e^{-\frac{x^2}{2}}$

Spočteme druhou derivaci (pravidlo o derivování součinu):

$f^{\prime \prime }(x)=0-(1.e^{-\frac{x^2}{2}}+x(-x.e^{-\frac{x^2}{2}}))=(x^2-1)e^{-\frac{x^2}{2}}$

Nyní budeme hledat inflexní body (lineární části nám tu zjevně žádné nevyjdou):

$f^{\prime \prime }(x)=(x^2-1)e^{-\frac{x^2}{2}}=0$

Exponenciální část $e^{-\frac{x^2}{2}}$ je zjevně pro každé x nenulová, proto stačí řešit kvadratickou rovnici:

$(x^2-1)=0$

Tj. funkce f(x) má dva inflexní body v:

$x_{1,2}=\pm 1$

Zvolíme si nějaký bod v intervalu (-1, 1), např. x=0. V tomto bodě

$f^{\prime \prime }(0)=0^2-1)e^{-\frac{0^2}{2}}=-1<0$

z čehož usoudíme, že funkce je na tomto intervalu konkávní, zatímco vně tohoto intervalu bude konvexní (včetně inflexních bodů):

• f(x) je konkávní pro $\mathrm{\forall }x\in <-1,1>$
• f(x) je konvexní pro $\mathrm{\forall }x\in (-\mathrm{\infty },-1>\cup <1,\mathrm{\infty })$

Uvedená úvaha (spočítat si hodnotu pro nějaký bod daného intervalu) byla trochu založená na "selském rozumu", aby se člověk zbytečně nezaplétal do řešení nerovnic. Matematicky správnější by asi bylo kromě rovnic (inflexní body) řešit i příslušné nerovnice:

• konkávní pro: $(x^2-1)\ge 0$
• konvexní pro: $(x^2-1)\le 0$

Wolfram

Svůj výpočet si ověříme na wolframu:

• 2x + e^(-x^2/2)
• ( 2x + e^(-x^2/2))

Průběh funkce i inflexní body odpovídají tomu, co jsme našli.