Zobrazení zdroje stránky Matematika/Základní škola/9. třída

== Kvadratické rovnice ==
Za kvadratickou rovnici s proměnnou ''x'' považujeme takovou rovnici, ve které se vyskytuje proměnná ''x'' v druhé mocnině (x<sup>2</sup>, tzv. kvadratický člen), vedle toho se může, ale nemusí vyskytovat i ''x'' v první mocnině (x, tzv. lineární člen) a tzv. absolutní člen.

Úpravami známými z lineárních rovnic můžeme každou kvadratickou rovnici převést na tvar

<math>ax^2 + bx + c = 0</math>,

kde koeficient ''a'' je nenulový (jinak by to byla lineární, nikoli kvadratická rovnice), ''b'' a ''c'' mohou být i nulové (pak lze rovnici řešit jednodušeji).

Takto upravenou rovnici můžeme řešit třemi způsoby:
# pomocí vzorce <math>x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}</math> (výraz <math>\sqrt{b^2 - 4ac}</math> se nazývá diskriminant), který vám ve škole většinou předložili jako fakt k zapamatování,
# postupnou úpravou na rozdíl čtverců, kdy rovnici převedete na tvar <math>(x+y)^2 - z^2 = 0</math> (v některých případech, typicky pro ''a'' rovno jedné a ''b'' sudé, může být toto řešení rychlejší než pomocí vzorce s diskriminantem),
# převedením na součin tvaru <math>(x-u) \cdot (x-v)</math>, kde pro hodnoty ''u'' a ''v'' platí tzv. Vietovy vztahy <math>u \cdot v = \frac{c}{a}</math>, <math>u + v = -\frac{b}{a}</math> (dá se s výhodou užít pro malé celočíselné hodnoty koeficientů ''b'' a ''c'', obě dělitelné ''a'').

=== Úlohy k procvičení ===
Řešte rovnici <math>x^3 + 2x^2 + x = 3x(x+1)</math>

{{Skryté řešení|řešení=
<math>
\begin{array}{rcl}
x^3 + 2x^2 + x & = & 3x^2 + 3x \\
x^3 - x^2 - 2x & = & 0 \\
x(x^2 - x - 2) & = & 0
\end{array}
</math>

Máme první kořen <math>x_1 = 0</math>, dále řešíme běžnou kvadratickou rovnici <math>x^2 - x - 2 = 0</math> pomocí vzorečku nebo rozložením na <math>(x + 1)(x - 2) = 0</math>. Jejím vyřešením dostáváme další dva kořeny <math>x_2 = -1</math>, <math>x_3 = 2</math>.
}}

[[Kategorie:Základní škola]]
[[Kategorie:Matematické úlohy]]