Zobrazení zdroje stránky Matematika/Výpočet obsahu rovinných útvarů/Základní rovinné útvary

== Trojúhelníky ==
=== Obecný trojúhelník ===
<math>S = \frac{a.v_a}{2}</math>, kde ''a'' je délka některé ze stran, ''v<sub>a</sub>'' je výška z protilehlého vrcholu na tuto stranu. Lze odvodit jako polovinu obsahu kosodélníka (viz níže) se stejnou stranou a výškou.

V učivu základní školy se používá spíše označení ''z'' pro základnu (kteroukoli vybranou stranu) a ''v'' pro příslušnou výšku, tedy:

<math>S = \frac{z.v}{2}</math>.

=== Pravoúhlý trojúhelník ===
Odvěsny jsou k sobě navzájem výškami (neboli <math>a = v_b</math>, <math>b = v_a</math>), tedy:

<math>S = \frac{a.b}{2}</math>, kde ''a'', ''b'' jsou délky odvěsen. Lze odvodit jako polovinu obsahu obdélníka se stejnými délkami stran.

=== Rovnostranný trojúhelník ===
Z délky strany lze podle Pythagorovy věty (<math>v_a = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}}</math>) nebo pomocí goniometrických funkcí (<math>v_a = a.\sin{\alpha}</math>, kde <math>\alpha = \frac{\pi}{3} = 60^{\circ}</math> ) spočítat i výšku (<math>v_a = a.\frac{\sqrt{3}}{2}</math>). Tedy:

<math>S = a^2.\frac{\sqrt{3}}{4}</math>.

=== Rovnoramenný trojúhelník ===
Máme dánu délku základny ''a'' a velikost úhlu mezi ramenem a základnou ''α''. Výšku tohoto trojúhelníku spočítáme pomocí goniometrických funkcí jako <math>v_a = \frac{a}{2}.\operatorname{tg}{\alpha}</math>. Tedy:

<math>S = \frac{a^2}{4}.\operatorname{tg}{\alpha}</math>.

Zvláštním případem rovnoramenného trojúhelníku pro <math>\alpha = \frac{\pi}{3}</math> je rovnostranný trojúhelník, přitom <math>\operatorname{tg}{\frac{\pi}{3}} = \sqrt{3}</math>, po dosazení a úpravě skutečně dostáváme vzorec <math>S = a^2.\frac{\sqrt{3}}{4}</math> v předchozí sekci.

Pokud použijeme <math>\alpha = \frac{\pi}{4}</math>, máme pravoúhlý trojúhelník o přeponě ''a'', přitom <math>\operatorname{tg}{\frac{\pi}{4}} = 1</math>, po dosazení dostáváme <math>S = \frac{a^2}{4}</math> a opravdu – tento trojúhelník je čtvrtinou čtverce o straně ''a'', rozřezaného podél obou úhlopříček.

== Čtyřúhelníky ==
=== Obdélník a čtverec ===
<math>S = a.b</math>, kde ''a'', ''b'' jsou délky stran

Pro čtverec platí <math>a = b</math>, a tedy <math>S = a^2</math>.

=== Kosodélník a kosočtverec ===
Kosodélník a kosočtverec (obecně rovnoběžník ležící na delší ze stran, kde ''a'' je tato delší strana a ''v<sub>a</sub>'' příslušná výška) lze svisle rozříznout na pravoúhlý trojúhelník a pravoúhlý lichoběžník, jejichž složením vznikne obdélník o stranách ''a'', ''v<sub>a</sub>'', tedy

<math>S = a.v_a</math>.

Pokud známe velikost vnitřního úhlu kosočtverce, umíme pomocí goniometrických funkcí spočítat výšku (<math>v = a.\sin{\alpha}</math>), tedy

<math>S = a^2.\sin{\alpha}</math>.

Pro kosočtverec s vnitřními úhly <math>\frac{\pi}{3} = 60^{\circ}</math> a <math>\frac{2\pi}{3} = 120^{\circ}</math> máme <math>v_a = a.\frac{\sqrt{3}}{2}</math> a dostáváme tedy <math>S = a^2.\frac{\sqrt{3}}{2}</math>, což je dvojnásobek plochy rovnostranného trojúhelníku, který vznikne rozpůlením kosočtverce po kratší úhlopříčce.

=== Lichoběžník ===
Lichoběžník, jehož dvě rovnoběžné strany (základny) mají délky ''a<sub>1</sub>'' a ''a<sub>2</sub>'', můžeme po diagonále rozdělit na dva trojúhelníky o stranách (základnách) ''a<sub>1</sub>'' a ''a<sub>2</sub>'' a stejné výšce ''v<sub>a</sub>''. Obsah lichoběžníka je roven součtu jejich obsahů:

<math>S = \frac{(a_1 + a_2).v_a}{2}</math>.

== Kruh ==
<math>S = \pi.r^2</math> nebo <math>S = \pi.\frac{d^2}{4}</math>, kde ''r'' je poloměr a ''d'' je průměr kruhu (<math>r = \frac{d}{2}</math>).

[[Kategorie:Geometrie]]