Zobrazení zdroje stránky Limita funkce/1

= Limita funkce =

== Příklad 1) ==

<math>
\lim_{x \to \frac{\pi}{8}} \frac{cotg 2x - 1}{1 - 2 cos^2 2x}
</math>

=== wolfram ===

* [http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+%28x-%3Epi%2F8%29+%28cotg+2x+-+1%29%2F%281+-+2+cos^2+2x%29 lim (x->pi/8) (cotg 2x - 1)/(1 - 2 cos^2 2x)]
* = -1

Ukázkový postup výpočtu mi přijde dost komplikovaný.

=== numberempire ===

Zkusíme konkurenci numberempire.com:
* [http://www.numberempire.com/limitcalculator.php?function=%28cot%282*x%29-1%29%2F%281-2*cos%282*x%29^2%29&var=x&val=pi%2F8&answers=&limit_type=two-sided (cot(2*x)-1)/(1-2*cos(2*x)^2)]
*limit variable: x
*Compute at: pi/8
*Limit type: two-sided
Kupodivu to nevyčíslí výraz a neukáže postup výpočtu.

=== wolfram ===

Tak se vrátíme k Wolframu a zkusíme mu trochu napovědět, na co nepřišel:
* namísto 2x budeme psát x a v souladu s tím upravíme i limitu:
* [http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+%28x-%3Epi%2F4%29+%28cotg+x+-+1%29%2F%281+-+2+cos^2+x%29 lim (x->pi/4) (cotg x - 1)/(1 - 2 cos^2 x)]
* = -1

Opět dost komplikovaný postup. Tak zkusíme použít rovnou l'Hospitalovo pravidlo a derivovat čitatele a jmenovatele:

* čitatel: [http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28cotg+x+-+1%29%27 (cotg x - 1)']
** = - csc^2 x = -1/sin^2 x
* jmenovatel: (1 - 2 cos^2 x)'
** = 4 sin x cos x
* dosadíme do původního zlomku: [http://www.wolframalpha.com/input/?i=-1%2F%284+sin^2+x+sin+x+cos+x%29 -1/(4 sin^2 x sin x cos x)]
* a dosadíme x = pi/4: [http://www.wolframalpha.com/input/?i=-1%2F%284+sin^2+%28pi%2F4%29+sin+%28pi%2F4%29+cos+%28pi%2F4%29%29 -1/(4 sin^2 (pi/4) sin (pi/4) cos (pi/4))]
* = -1

=== ruční výpočet s komentářem ===

<math>
\lim_{x \to \frac{\pi}{8}} \frac{\operatorname{cotg}{2x} - 1}{1 - 2 \cos^2{2x}} =
</math>

(substituce y = 2x)

<math>
= \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\operatorname{cotg}{y} - 1}{1 - 2 \cos^2 y} =
</math>

Vídíme, že po dosazení má limita tvar 0/0, proto použijeme [[w:L'Hospitalovo pravidlo|L’Hospitalovo pravidlo]] a derivujeme zvlášť čitatele a jmenovatele:

<math>
= \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\frac{-1}{\sin^2{y}}}{-2 (2.\cos{y}) . (-\sin{y})}
= \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{-1}{4 \sin^2{y} . \cos{y} . \sin{y}}
</math>

Po dosazení funkčních hodnot

<math>
\cos{\frac{\pi}{4}} = \sin{\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}
</math>

dostaneme

<math>
\frac{-1}{4 \sin^2{\frac{\pi}{4}} . \cos{\frac{\pi}{4}} . \sin{\frac{\pi}{4}}}
= \frac{-1}{4 (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 . \frac{\sqrt{2}}{2} . \frac{\sqrt{2}}{2}}
= \frac{-1}{4 . \frac{2}{4} . \frac{2}{4}}
= \frac{-1}{1} = -1
</math>

[[Kategorie: Limita funkce]]
[[Kategorie:Wolfram Mathematica]]