Matematika/Výpočet obsahu rovinných útvarů/Zajímavé úlohy

Pravidelný n-úhelník

Vypočtěte obsah pravidelného n-úhelníka, znáte-li délku strany a a hodnotu n.

Řešení

Pravidelný n-úhelník rozdělíme na n shodných rovnoramenných trojúhelníků o straně a a vnitřních úhlech při této straně $α = \frac{π}{2} - \frac{π}{n}$ .

Pro výšku tohoto trojúhelníku dostáváme $v_{a} = \frac{a}{2} . tg α = \frac{a}{2} . tg (\frac{π}{2} - \frac{π}{n})$ .

Pro $ϕ = (0, \frac{π}{2})$ platí $tg (\frac{π}{2} - ϕ) = cotg ϕ$ , tedy $v_{a} = \frac{a}{2} . cotg \frac{π}{n}$ .

Obsah jednoho rovnoramenného trojúhelníku je tedy $S_{1} = \frac{a}{2} . \frac{a}{2} . cotg \frac{π}{n} = \frac{a^{2}}{4} . cotg \frac{π}{n}$ .

Obsah pravidelného n-úhelníka je $S = n . S_{1} = n . \frac{a^{2}}{4} . cotg \frac{π}{n}$ .

Zkouška správnosti výsledku pro některé hodnoty n

Pro $n = 3$ dostáváme $S = 3 . \frac{a^{2}}{4} . cotg \frac{π}{3} = 3 . \frac{a^{2}}{4} . \frac{\sqrt{3}}{3} = a^{2} . \frac{\sqrt{3}}{4}$ , což je skutečně [[../Základní rovinné útvary#Rovnostranný trojúhelník|obsah rovnostranného trojúhelníka]] o straně a.

Pro $n = 4$ dostáváme $S = 4 . \frac{a^{2}}{4} . cotg \frac{π}{4} = 4 . \frac{a^{2}}{4} . 1 = a^{2}$ , což je skutečně [[../Základní rovinné útvary#Čtverec|obsah čtverce]] o straně a.

Pro $n = 6$ dostáváme $S = 6 . \frac{a^{2}}{4} . cotg \frac{π}{6} = 6 . \frac{a^{2}}{4} . \sqrt{3} = 3 . a^{2} . \frac{\sqrt{3}}{2}$ , což je skutečně šestinásobek [[../Základní rovinné útvary#Rovnostranný trojúhelník|obsahu rovnostranného trojúhelníka]] o straně a a též trojnásobek [[../Základní rovinné útvary#Kosodélník a kosočtverec|obsahu kosočtverce]] o straně a a vnitřním úhlu $\frac{π}{3}$ .

n-cípá hvězda

Vypočtěte obsah n-cípé hvězdy (n > 4), znáte-li poloměr kružnice opsané r a hodnotu n. Za n-cípou hvězdu v této úloze považujeme mnohoúhelník s 2n vrcholy s těmito vlastnostmi:

vrcholy leží střídavě na opsané kružnici (vrcholy cípů) a na vnitřní kružnici,
je osově souměrný podle n os procházejících středem opsané kružnice (pro liché n procházejí vrcholy cípů, pro sudé n polovina z nich prochází vrcholy cípů, polovina vrcholy na vnitřní kružnici),
ramena cípů směřují k jiným vnějším vrcholům.

Pro n = 5 splňuje toto upřesněné zadání jediný tvar hvězdy, pro n > 5 více tvarů hvězdy lišících se počtem „přeskočených“ vrcholů při konstrukci ramen cípů.

Řešení 1

Toto řešení bylo odvozeno z pěticípé hvězdy, mělo by platit i pro další liché hodnoty n, přičemž pro n > 5 jen pro ty tvary hvězdy, u kterých ramena cípů směřují vždy ke dvěma nejvzdálenějším, vůči sobě sousedním vnějším vrcholům (na obr. 1 jsou to ramena cípů směřující z vrcholu A k vrcholům C a D). Neboli z možných více tvarů hvězdy dle zadání je uvažován ten s nejmenším vnitřním úhlem při vnějších vrcholech.

Obrazec rozdělíme na 2n stejných (přesněji: n stejných a n k nim osově souměrných) trojúhelníků, viz obr. 1.

V trojúhelníku ASB (viz obr. 2) známe délku r nejdelší strany AS (je rovna zadanému poloměru kružnice). Velikost úhlu při vrcholu S je rovna $\frac{π}{n}$ (kružnice je rozdělena na 2n stejných úhlů), velikost úhlu při vrcholu A je rovna polovině velikosti úhlu při vrcholu S, tedy $\frac{π}{2 n}$ (úhel CAD na obr. 1 je obvodovým úhlem ke středovému úhlu CSD). Velikost úhlu při vrcholu B dopočítáme jako $π - \frac{3 π}{2 n}$ .

Pomocí sinové věty spočítáme délku strany AB:

$t = r . \frac{\sin \frac{π}{n}}{\sin (π - \frac{3 π}{2 n})}$ ,

a dále spočítáme výšku z vrcholu B:

$v = t . \sin \frac{π}{2 n} = r . \frac{\sin \frac{π}{n} . \sin \frac{π}{2 n}}{\sin (π - \frac{3 π}{2 n})}$ .

Nyní již umíme vypočítat obsah jednoho trojúhelníka jako

$S_{1} = r^{2} . \frac{\sin \frac{π}{n} . \sin \frac{π}{2 n}}{2 \sin (π - \frac{3 π}{2 n})}$

a celého obrazce

$S = 2 n . S_{1} = n r^{2} . \frac{\sin \frac{π}{n} . \sin \frac{π}{2 n}}{\sin (π - \frac{3 π}{2 n})} .$