Konvexnost a konkávnost funkce

Konvexnost a konkávnost funkce

Na první pohled to vypadá nelogicky, ale můžu si to představit tak, že se na graf funkce koukám jakoby odspoda:

• konkávní = doslova: vydutý, u funkce: např. tvar hrbu nahoru, ale odspoda to vypadá jako vnitřek misky
• konvexní = doslova: vypuklý, u funkce: např. tvar údolí, ale odspoda to vypadá jako vypouklina

Anebo si představím, že jedu autem zhruba ve směru osy x a auto mi kreslí čáru, tak:

• při zatáčení doprava je ta funkce konkávní
• při zatáčení doleva je ta funkce konvexní

(Samozřejmě nemůžu jet dokolečka, x musí stále narůstat, aby to byla funkce!)

• Pokud zatáčím chvíli doleva a chvíli zase doprava (jako v reálu), pak je ta funkce chvíli (tj. na určitém intervalu) konkávní a chvíli zase konvexní.
• Pokud jedu chvíli zcela rovně, pak je tak funkce v tomto intervalu lineární (je zároveň konvexní i konkávní)
• Pokud ze zatáčky na jednu stranu přejdu hned do zatáčky na druhou stranu, tak vlastně volant mi míří rovně pouze v jednom okamžiku, v jednom bodě, a tomu se říká inflexní bod.

Jak zjistím, kde je funkce konvexní, konkávní, lineární a kde jsou inflexní body? Spočtu druhou derivaci funkce $f^{\prime \prime }(x)$ a pak rozlišuji případy:

• $f^{\prime \prime }(x)\le 0$ ⇒ fce je konkávní
• $f^{\prime \prime }(x)=0$ ⇒ fce je lineární anebo se jedná o inflexní bod
• $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$ ⇒ fce je konvexní

Z výše uvedené definice je vidět, že lineární fce je zároveň konkávní i konvexní.

Když chceme vyloučit případy, kdy "auto jede rovně" (tj. lineární, přímé úseky funkce, a inflexní body), zavádíme pomocí ostrých nerovností pojmy ryze konkávní a ryze konvexní:

• $f^{\prime \prime }(x)<0$ ⇒ fce je ryze konkávní
• $f^{\prime \prime }(x)>0$ ⇒ fce je ryze konvexní

Zjistím, pro jaká x nastává který případ a tím pádem zjistím, v jakých bodech či intervalech je funkce jaká.

Podrobnější čtení

• w: Konvexnost a konkávnost funkce
• wolfram:
  • convex function
  • concave function

Příklady na procvičování

Zkuste nejdříve spočítat sami. Potom rozklikněte číslo příkladu a zkontrolujte si výsledek, porovnejte postup a pokud přijdete na elegantnější řešení, neváhejte je tam uvést! Diskutujte na příslušné diskusní stránce.

• 1) $f(x)=2x+e^{-\frac{x^2}{2}}$